東部地区学力検査　第1回の証明問題（数学）

東部地区学力検査の第1回で出題されている証明問題をピックアップ。

令和3年から令和7年の5回分全て三角形の合同の証明になります。

【令和3年】 長方形ABCDの対角線BDの中点をEとし、直線FEと辺BCの交点をGとする。このとき、$△BEG\equiv △DEF$ であることを証明しなさい。

• 点Eは対角線BDの中点なので、$BE=DE$ ……①
• 対頂角は等しいので、$\angle BEG=\angle DEF$ ……②
• $AD//BC$ より、平行線の錯角は等しいので、$\angle EBG=\angle EDF$ ……③
• ①、②、③より、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、$△BEG\equiv △DEF$ である。

【令和4年問題】 半径の異なる2つの円Oと円Pが2点A、Bで交わっているとき、$△OAP\equiv △OBP$ であることを証明しなさい。

• 円Oの半径は等しいので、$OA=OB$
• 円Pの半径は等しいので、$PA=PB$
• 辺$OP$ は共通
• よって、3組の辺がそれぞれ等しいので、$△OAP\equiv △OBP$ である。

【令和5年】 正方形ABCDを点Aを中心に回転移動させた正方形AEFGにおいて、辺CDと辺EFの交点をHとする。このとき、$△ADH\equiv △AEH$ であることを証明しなさい。

• 正方形の1辺なので、$AD=AE$
• 辺$AH$ は共通
• 正方形の角なので、∠ADH=∠AEH=90∘
• よって、直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので、$△ADH\equiv △AEH$ である。

【令和6年】 正三角形ABCと正三角形DBEがある。点Fは線分BAの延長線と線分ECの延長線の交点、点Gは線分ADと線分EFの交点である。このとき、$△ABD\equiv △CBE$ であることを証明しなさい。

• 正三角形ABCの辺なので、$AB=CB$
• 正三角形DBEの辺なので、$BD=BE$
• ∠ABD=∠ABC+∠CBD=60∘+∠CBD
• ∠CBE=∠DBE+∠CBD=60∘+∠CBD
• よって、$\angle ABD=\angle CBE$
• 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、$△ABD\equiv △CBE$ である。

【令和7年】 $AB<BC$ の $△ABC$ で、$\angle B$ の二等分線と辺ACとの交点をDとする。頂点Aから線分BDに垂線をひき、線分BD、辺BCとの交点をそれぞれE、Fとする。このとき、$△ABE\equiv △FBE$ であることを証明しなさい。

• 線分$BE$ は共通
• $BD$ は $\angle B$ の二等分線なので、$\angle ABE=\angle FBE$
• $AE\perp BD$ なので、∠AEB=∠FEB=90∘
• よって、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、$△ABE\equiv △FBE$ であるす。